Кинематика основные понятия и формулы. Техническая механика

Лекторы: зав.каф «Физика» Виктор Стефанович Кунаков

Аспирант кафедры Константин Андреевич Тимолянов

Литература: Трофимов А.И. «Курс физики»

Савельев И.В. «Курс общей физики»

Лекция 1. Элементы кинематики.

План лекции

Введение.

Основные кинематические понятия и характеристики.

Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.

Угловая скорость, угловое ускорение.

1. Введение.

Физику можно назвать наукой о наиболее общих свойствах и законах движения материи.

В настоящее время известны два вида материи - вещество (атомы, молекулы, тела) и поле (гравитационное, электромагнитное); наблюдается взаимное превращение различных видов материи (e+e возможен обратный процесс).

Материя находится в непрерывном движении, под которым понимается всякое изменение вообще. Движение - неотъемлимое свойство материи, которое неуничтожимо, как сама материя.

Материя существует и движется в пространстве и во времени, которые являются формами бытия материи.

Форм движения материи много. Предмет «Физика» изучается в порядке усложнения форм движения материи и делится на следующие разделы: механика, молекулярная физика, электричество и магнетизм, оптика, физика атома и атомного ядра.

“Физика” – от греческого “физис” – природа. Физику подразделяют на так называющую классическую физику и физику квантовую.

Классической называется та физика, начало которой было положено Ньютоном и создание которой было завершено в начале XX столетия.

Ньютоновская механика оказалось настолько плодотворной, что у физиков сложилось представление о том, что любое физическое явление можно объяснить с помощью ньютоновских законов.

Однако такие блестящие достижения физики как открытие электрона (1897г.), создание электронной теории, теории относительности, квантовой теории требовали пересмотра установившихся физических понятий и представлений.

В физике необходимо различать скалярные и векторные величины. Скалярные величины полностью характеризуются численными значениями и единицей измерения; могут иметь положительное или отрицательное численное значение (исключение составляет температура по шкале Кельвина).

Векторная величина полностью характеризуется численным значением, единицей измерения и направлением. Для указания на векторный характер физической величины над обычным ее обозначением ставится стрелка. Векторная величина геометрически изображается вектором, т.е. отрезком, имеющим определенное направление и длину.

Математические операции над векторными величинами подчиняются особым закономерностям.

1.Сложение векторов

а) исонаправлены

б) инаправлены противоположно

в) , используется правило параллелограмма

2.Вычитание векторов

Производная вектора

,

–знак изменения,

d – знак бесконечно малого изменения.

Понятие интеграла.

.

Если n – велико, а
- мало, то
.

2 . Основные кинематические понятия и характеристики.

Механика изучает механическое движение, которое является простейшей формой движения материи. Основная задача механики - определение положения тела в любой момент времени, если известно его начальное положение. В зависимости от методов решения этой задачи механику разделяют на 3 части:

1) статика - учение о механическом равновесии;

кинематика - учение о механическом движении без учета причин, вызывающих это движение;

динамика – учение о механическом движении с учетом причин, его вызывающих.

Механическое движение - это изменение положения тел или их частей в пространстве с течением времени. Основным объектом изучения в кинематике

является материальная точка. Понятие “материальная точка” есть физическая абстракция, модель, которая вводится для упрощения описания движения.

Материальной точкой называют тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Заменять реальное тело материальной точкой, т.е. объектом, обладающим массой, но не имеющим геометрических размеров, можно только для тех движений, когда справедливо пренебрежение размерами, формой и процессами, происходящими внутри тела. Если реальное тело нельзя заменить материальной точкой, используют другую физическую модель – абсолютно твердое тело.

Абсолютно твердым телом называют тело, деформациями которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

В действительности же все реальные тела при воздействии на них деформируются.

Все виды механических движений можно свести к поступательному и вращательному движениям. Материальная точка может участвовать только в поступательном движении, прямолинейном или криволинейном, т.к. говорить о вращении точки, не имеющей размеров, бессмысленно.

Поступательным назвали такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе (рис.1).

Вращательным назвали такое движение, при котором все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения (рис.2).

Системой отсчета называют связанную с часами систему координат, жестко связанную с некоторым физическим телом, называемым телом отсчета.

Обычно система отсчета представляет собой декартову систему координат, для получения которой в пространстве выбирают тело отсчета О и строят относительно него три взаимно перпендикулярные оси, обычно обозначаемые X,Y,Z.

В такой системе отсчета положение материальной точки М можно задать либо ее координатами М(x,y,z,), либо радиус-вектором . Радиус-вектор однозначно связан с координатами точки и задается следующим образом:

,

где - единичные векторы, направленные вдоль осей координат.

Численное значение вектора определяется соотношением

.

Для описания движения используют понятия: траектория, путь, перемещение, скорость, ускорение.

Траектория - линия, описываемая точкой в пространстве (прямолинейная или криволинейная).

Если траектория лежит в одной плоскости, движение называют плоским (рис.3).

Путь S - длина траектории, скалярная величина, [S ]=1м.

Перемещение - вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки и направленный к конечному положению.=1м.

Средняя скорость перемещения равна отношению перемещения к интервалу времени t , за которое это перемещение произошло:

.

Направление вектора совпадает с направлением вектора перемещения.

Мгновенная скорость - векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени: .

При t уменьшается различие между иS, S, т.е. численное значение мгновенной скорости равно первой производной пути по времени:

=
.

Для характеристики быстроты изменения скорости вводится понятие ускорения.

Средним ускорением называют отношение изменения скорости к интервалу времениt, за которое это изменение произошло:

,
.

Направление вектора совпадает с направлением вектора.

Мгновенное ускорение - векторная величина, равная первой производной скорости по времени:

;

.

Типы прямолинейного движения:

а) переменное движение - движение, при котором изменяются как скорость, так и ускорение,

б) равнопеременное движение – движение с постоянным ускорением,

,  - равноускоренное,   - равнозамедленное,

;
,

;
;

в) равномерное движение – движение с постоянной скоростью,

,
.

3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.

Движение тела характеризуется скоростью и ускорением, которые могут изменяться во времени. Пусть материальная точка движется по плоской криволинейной траектории с переменной по величине и направлению скоростью (рис. 4). Для характеристики степени криволинейности вводится понятие радиуса кривизны в данной точке траектории.

Радиусом кривизны R траектории называют радиус окружности, которая сливается с криволинейной траекторией на бесконечно малом ее участке.

В данной точке траектории касательная всегда перпендикулярна радиусу кривизны.

Пусть и скорость, и ускорение меняются по величине и направлению.

Мы знаем, что ускорение тела при движении есть
.

Вектор скорости можно представить как произведение модуля скоростии некоторого единичного вектора , сонаправленного с вектором линейной скорости , направленного по касательной к траектории.

Таким образом, полное ускорение материальной точки при криволинейном движении можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое
.

Вектор направлен по касательной к траектории и называется тангенциальным или касательным ускорением . Его модуль равен
, поэтому характеризует быстроту изменения скорости криволинейного движения только по величине, так как вектор не изменяется.

Следовательно, можно заключить, что - тангенциальное ускорение, характеризует изменение скорости по величине и направлено по касательной к траектории.

Второе слагаемое
называется нормальным ускорением .

Так как вектор сонаправлен с вектором , который определяет изменениенаправления вектора линейной скорости, то он характеризует изменение скорости криволинейного движения по направлению.

.

перпендикулярно скорости, направлено вдоль радиуса кривизны траектории к центру окружности.

Полное ускорение материальной точки при криволинейном движении характеризует быстроту изменения скорости как по величине, так и по направлению (рис.6).

Для того чтобы понять, что изучает механика, необходимо рассмотреть, что означает движение в самом общем смысле. Значение этого слова подразумевает под собой изменение чего-либо. Например, политическое движение выступает за равноправие разных слоев населения вне зависимости от их расовой принадлежности. Раньше его не было, затем что-то изменилось и теперь каждый человек имеет равные права. Это движение цивилизации вперед. Еще пример - экологическое. В прошлом, выбравшись на природу, никто не задумывался о том, что оставляет после себя мусор. Сегодня же любой цивилизованный человек соберет его за собой и отвезет в специально отведенное место для дальнейшей утилизации.

Что-то подобное можно наблюдать и в механике. При механическом движении изменяется положение тела в пространстве относительно других предметов с течением времени. Основная задача механики - указать, где находится объект в любой момент, учитывая даже тот, который еще не наступил. То есть, предсказать положение тела в заданное время, а не только узнать, где именно в пространстве оно находилось в прошлом.

Кинематика - это раздел механики, который изучает движение тела, не анализируя его причины. Это значит, что она учит не объяснять, а описывать. То есть, придумать способ, с помощью которого можно было бы задать положение тела в любой момент времени. Основные понятия кинематики включают в себя скорость, ускорение, расстояние, время и перемещение.

Сложность в описании движения

Первая проблема, с которой сталкивается кинематика - это то, что у каждого тела есть определенный размер. Допустим, необходимо описать движение какого-нибудь предмета. Это значит научиться обозначать его положение в любой момент времени. Но каждый предмет занимает в пространстве какое-то место. То есть, что все части этого объекта в один и тот же момент времени занимают разное положение.

Какую точку в таком случае необходимо взять для описания нахождения всего предмета? Если учитывать каждую, то расчеты окажутся слишком сложными. Поэтому решение ответа на этот вопрос можно максимально упростить. Если все точки одного тела движутся в одинаковом направлении, то для описания движения достаточно одной такой, которую содержит это тело.

Виды движения в кинематике

Существует три типа:

1. Поступательным называется движение, при котором любая прямая проведенная в теле остается параллельной самой себе. Например, автомобиль, который движется по шоссе, совершает такой вид движения.
2. Вращательным называется такое движение тела при котором все его точки движутся по окружностям с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. Например, вращение Земли относительно своей оси.
3. Колебательным называется движение, при котором тело повторяет свою траекторию через определенный отрезок времени. Например, движение маятника.

Основные понятия кинематики - материальная точка

Любое сложное движение можно описать как комбинацию двух простейших видов - поступательного и вращательного. Например колесо автомобиля или юла, стоящая на движущейся прямо платформе, участвуют одновременно в этих двух типах перемещения.

Но что делать, если движение тела нельзя представить в виде комбинации? Например, если автомобиль едет по ухабистой дороге, его положение будет меняться очень сложным образом. Если рассчитывать только то, что этот транспорт перемещается из одного города в другой, то в такой ситуации становится не важно какого размера тело движется из точки А в точку Б и им можно пренебречь. В данном случае важно только за какое время автомобиль прошел определенное расстояние и с какой скоростью двигался.

Однако следует учитывать, что пренебрежение размером допускается не в каждой задаче. Например, если рассчитывать движение при парковке автомобиля, то игнорирование величины данного тела, приведет к пагубным последствием. Поэтому, только в тех ситуациях, когда в рамках конкретной задачи, размерами движущегося объекта можно пренебречь, то такое тело принято называть материальной точкой.

Формулы кинематики

Числа, с помощью которых задается положение точки в пространстве, называются координатами. Чтобы определить его на прямой, достаточно одного числа, когда речь идет о поверхности, то двух, о пространстве - трех. Большего количества чисел в трехмерном мире (для описывания положения материальной точки) не требуется.

Существует три основных уравнения для понятия кинематики, как раздела о движении тел:

1. v = u + at.
2. S = ut + 1/2at 2 .
3. v 2 = u 2 + 2as.

v = конечная скорость,

u = Начальная скорость,

a = ускорение,

s = расстояние, пройденное телом,

Формулы кинематики в одномерном пространстве:

X - X o = V o t + 1/2a t2

V 2 = V o 1 + 2a (X - X o)

X - X o = 1\2 (V o + V) t
Где,

V - конечная скорость (м / с),

V o - начальная скорость (м / с),

a - ускорение (м / с 2),

t - время (с),

X - конечное положение (м),

Формулы кинематики в двумерном пространстве

Поскольку следующие уравнения используются для описания материальной точки на плоскости, стоит рассматривать ось X и Y.

Учитывая направление Х:

a x = constant

V fx = V i x + a x Δt

X f = X i + V i x Δt +1/2a x Δt 2

Δt = V fx -V ix /a x

V fx 2 = V ix 2 + 2ax Δx

X f = X i + 1/2 (V fx + V ix) Δ t .
И учитывая направление y:

a y = constant

V fy = V iy + a y Δt

y f = y i + V iy Δt + 1/2 a x Δt 2

Δt = V fy - V iy /a y

V fy 2 = V iy 2 + 2 ay Δ y

y f = y i +1/2 (V fy + V iy) Δt.

V f - конечная скорость (м / с),

V i - начальная скорость (м / с),

a - ускорение (m / с 2),

t - время (с),

X - конечное положение (м),

X 0 - начальное положение (м).

Перемещение брошенного снаряда - лучший пример для описания движения объекта в двух измерениях. Здесь тело перемещается, как в вертикальном положении У, так и в горизонтальном положении Х, поэтому можно сказать, что предмет имеет две скорости.

Примеры задач по кинематике

Задача 1 : Начальная скорость грузовика равна нулю. Изначально этот объект находится в состоянии покоя. На него начинает действовать равномерное ускорение в течение временного интервала 5,21 секунды. Расстояние, пройденное грузовиком, составляет 110 м. Найти ускорение.

Решение:
Пройденное расстояние s = 110 м,
начальная скорость v i = 0,
время t = 5,21 с,
ускорение a =?
Используя основные понятие и формулы кинематики, можно заключить, что,
s = v i t + 1/2 a t 2 ,
110 м = (0) × (5.21) + 1/2 × a (5.21) 2 ,
a = 8,10 м / с 2 .

Задача 2: Точка движется вдоль оси х (в см), после t секунд путешествия, ее можно представить, используя уравнение x = 14t 2 - t + 10. Необходимо найти среднюю скорость точки, при условии, что t = 3s?

Решение:
Положение точки при t = 0, равно x = 10 см.
При t = 3s, x = 133 см.
Средняя скорость, V av = Δx/Δt = 133-10/3-0 = 41 см / с.

Что такое тело отсчета

О движении можно говорить только если существует что-то, относительно чего рассматривается изменение положения изучаемого объекта. Такой предмет называется телом отсчета и оно условно всегда принимается за неподвижное.

Если в задаче не указано в какой системе отчета движется материальная точка, то телом отсчета считается земля по умолчанию. Однако, это не означает, что за неподвижный в заданный момент времени объект, относительно которого совершается движение, нельзя принять любой другой удобный для расчета. Например, за тело отсчета можно взять движущийся поезд, поворачивающий автомобиль и так далее.

Система отсчета и ее значение в кинематике

Для описания движения необходимы три составляющие:

1. Система координат.
2. Тело отсчета.
3. Прибор для измерения времени.

Тело отсчета, система координат, связанная с ним и прибор для измерения времени образуют систему отсчета. Бессмысленно говорить о движении, если ее не указывать. Правильно подобранная система отсчета, позволяет упростить описание перемещения и, наоборот, усложнить, если она выбрана неудачно.

Именно по этой причине, человечество долго считало, что Солнце движется вокруг Земли и что она находится в центре вселенной. Такое сложное движение светил, связанное с тем, что земные наблюдатели находятся в системе отсчета, которая очень замысловато движется. Земля вращается вокруг свое оси и одновременно вокруг Солнца. На самом деле, если сменить систему отсчета, то все движения небесных тел легко описываются. Это в свое время было сделано Коперником. Он предложил собственное описание мироустройства, в котором Солнце неподвижно. Относительно него описать движение планет гораздо проще, чем если телом отсчета будет являться Земля.

Основные понятия кинематики - путь и траектория

Пусть некоторая точка первое время находилась в положении А, спустя некоторое время она оказалась в положении В. Между ними можно провести одну линию. Но для того, чтобы эта прямая несла больше информации о движении, то есть было понятно откуда и куда двигалось тело, это должен быть не просто отрезок, а направленный, обычно обозначающийся буквой S. Перемещением тела, называется вектор, проведенный из начального положения предмета в конечное.

Если тело изначально находилось в точке А, а затем оказалось в точке В, это не означает, что оно двигалось только по прямой. Из одного положения в другое можно попасть бесконечным количеством способов. Линия, вдоль которой движется тело, является еще одним основным понятием кинематики - траекторией. А ее длина называется путь, который обычно обозначается буквами L или l.

Относительность движения. Перемещение и скорость

Цель работы : изучение основных понятий кинематики, относительности движения, моделей.

Краткая теория

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета .

Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют систему отсчета , позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени.

В Международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр , а за единицу времени – секунда .

Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать его материальной точкой . Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.

Если все части тела движутся одинаково, то такое движение называется поступательным . Поступательно движутся, например, кабины в аттракционе «Гигантское колесо», автомобиль на прямолинейном участке пути и т.д. При поступательном движении тела его также можно рассматривать как материальную точку.

Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называетсяматериальной точкой .

Понятие материальной точки играет важную роль в механике.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела .

Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения ) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени x =x (t ), y =y (t ), z =z (t ) (координатный способ), либо при помощи зависимости от времени радиус-вектора (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки (рис. 1.1).

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.

Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t . Путь – скалярная величина.

Если движение тела рассматривать в течение достаточно короткого промежутка времени, то вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет равна пройденному пути.

В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Пройденный путь l и вектор перемещения при криволинейном движении тела. a и b – начальная и конечная точки пути.

Для характеристики движения вводится понятие средней скорости : . (1.1) В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость , которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt : . (1.2) В математике такой предел называют производной и обозначают или . Таким образом, мгновенная скорость материальной точки (тела) – это первая

производная от перемещения по времени.

Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рис. 1.3.

составляющие: тангенциальную (касательную) составляющую , направленную вдоль вектора , и нормальную составляющую , направленную перпендикулярно вектору .

криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости . Составляющие вектора ускорения называют касательным (тангенциальным ) и нормальным ускорениями (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Касательное и нормальное ускорения.	Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю: . (1.4) Вектор направлен по касательной к траектории. Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
Рис. 1.6. Движение по дугам окружностей.	Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.6). Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент: . (1.5)

Вектор всегда направлен к центру окружности.

Из рис. 1.5 видно, что модуль полного ускорения равен:

Таким образом, основными физическими величинами в кинематике материальной точки являются пройденный путь l , перемещение , скорость и ускорение . Путь l является скалярной величиной. Перемещение , скорость и ускорение – величины векторные. Чтобы задать векторную величину, нужно задать ее модуль и указать направление.

Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам. Вектора можно проектировать на координатные оси, их можно складывать, вычитать и т.д. Изучите модели «Вектор и его проекции на координатные оси», «Сложение и вычитание векторов».

	Модель демонстрирует разложение вектора на составляющие путем проектирования вектора на координатные оси X и Y. Изменяя на графике с помощью мыши модуль и направление вектора проследите за изменением его проекций и . Изменяя проекции и , проследите за модулем и направлением вектора
Модель. Вектор и его проекции на координатные оси.

d:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\buttonModel_h.gif

	Модель позволяет изменять модули и направления векторов и и строить вектор – результат их векторного сложения или вычитания. Можно также изменять проекции векторов и и убедиться, что проекции вектора на координатные оси равны соответственно сумме или разности проекций векторов и
Модель. Сложение и вычитание векторов.

Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными .

Пусть имеются две системы отсчета. Система XOY условно считается неподвижной, а система X"O"Y" движется поступательно по отношению к системе XOY со скоростью . Система XOY может быть, например, связана с Землей, а система X"O"Y" – с движущейся по рельсам платформой (рис. 1.7).

относительно Земли будет соответствовать вектору , представляющему собой сумму векторов и :

В случае, когда одна из систем отсчета движется относительно другой поступательно (как на рис. 1.7) с постоянной скоростью это выражение принимает вид:

Если рассмотреть перемещение за малый промежуток времени Δt , то, разделив обе части этого уравнения на Δt и затем перейдя к пределу при Δt →0 получим:

здесь – скорость тела в «неподвижной» системе отсчета XOY , – скорость тела в «движущейся» системе отсчета X"O"Y" . Скорости и иногда условно называют абсолютной и относительной скоростями; скорость называют переносной скоростью.

Соотношение (1.9) выражает классический закон сложения скоростей : абсолютная скорость тела равна векторной сумме его относительной скорости и переносной скорости подвижной системы отсчета.

Следует обратить внимание на вопрос об ускорениях тела в различных системах отсчета. Из (1.9) следует, что при равномерном и прямолинейном движении систем отсчета друг относительно друга ускорения тела в этих двух системах одинаковы, т.е. . Действительно, если – вектор, модуль и направление которого остаются неизменными во времени, то любое изменение относительной скорости тела будет совпадать с изменением его абсолютной скорости. Следовательно,

Изучите модель «Относительность движения».

Переходя к пределу (Δt →0), получим . В общем случае, при движениях систем отсчета с ускорением друг относительно друга, ускорения тела в различных системах отсчета оказываются различными.

В случае, когда вектора относительной скорости и переносной скорости параллельны друг другу, закон сложения скоростей можно записать в скалярной форме:

υ = υ 0 + υ" . (1.11)

В этом случае все движения происходят вдоль одной прямой линии (например, оси OX ). Скорости υ, υ о и υ" нужно рассматривать как проекции абсолютной, переносной и относительной скоростей на ось OX . Они являются величинами алгебраическими и, следовательно, им нужно приписывать определенные знаки (плюс или минус) в зависимости от направления движения.

Простейшим видом механического движения является движение тела вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью. Такое движение называется равномерным . При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось OX удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x . Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX . Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.

Если в некоторый момент времени t 1 тело находилось в точке с координатой x 1 , а в более поздний момент t 2 – в точке с координатой x 2 , то проекция перемещения Δs на ось OX за время Δt = t 2 – t 1 равна Δs = x 2 – x 1 .

Эта величина может быть и положительной и отрицательной в зависимости от направления, в котором двигалось тело. При равномерном движении вдоль прямой модуль перемещения совпадает с пройденным путем. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение

. (1.12)

Если υ>0, то тело движется в сторону положительного направления оси OX ; при υ<0 тело движется в противоположном направлении.

Зависимость координаты x от времени t (закон движения ) выражается при равномерном прямолинейном движении линейным математическим уравнением :

x (t ) = x 0 + υt . (1.13)

В этом уравнении υ=const – скорость движения тела, x о – координата точки, в которой тело находилось в момент времени t =0. На графике закон движения x (t ) изображается прямой линией. Примеры таких графиков представлены на рис. 1.8.

.

Величина скорости оказалась положительной. Это означает, что тело двигалось в положительном направлении оси OX . Обратим внимание, что на графике движения скорость тела может быть геометрически определена как отношение сторон BC и AC треугольника ABC (рис. 1.9) .

Чем больше угол α , который образует прямая с осью времени, т.е. чем больше наклон графика (крутизна ), тем больше скорость тела. Иногда говорят, что скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x (t ). С точки зрения математики это утверждение не вполне корректно, так как стороны BC и AC треугольника ABC имеют разные размерности : сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах.

Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.9 прямой II, найдем x 0 =4 м, υ = –1 м/с.

На графике (рис. 1.9) это происходит в момент времени t 1 = –3 с, t 2 = 4 с, t 3 = 7 с и t 4 = 9 с. Нетрудно найти по графику движения, что на интервале (t 2 ; t 1) тело двигалось со скоростью υ 12 =1 м/с, на интервале (t 3 ; t 2) – со скоростью υ 23 = –4/3 м/с и на интервале (t 4 ; t 3) – со скоростью υ 34 = 4 м/с.

Следует отметить, что при кусочно-линейном законе прямолинейного движения тела пройденный путь l не совпадает с перемещением s . Например, для закона движения, изображенного на рис. 1.10, перемещение тела на интервале времени от 0 с до 7 с равно нулю (s =0). За это время тело прошло путь l = 8 м.

Изучите модель «Перемещение и скорость».d:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\buttonModel_h.gif

1. Механическое движение – изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

2. Материальная точка (МТ) – тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.

3. Траектория – линия в пространстве, вдоль которой движется МТ (совокупность последовательных положений МТ, занимаемых ею в процессе движения).

4. Система отсчета (СО) включает в себя:

· тело отсчета;

· систему координат, связанную с этим телом;

· прибор для измерения времени, включая выбор начальной точки отсчета времени (при этом, если используются несколько часов, то они должны быть синхронизированы).

5. Основная (обратная) задача кинематики : найти закон (уравнения) движения тела в заданной системе отсчета.
Например, уравнения движения тела, брошенного под углом к горизонту, выглядят так:

При этом все остальные задачи, нахождение пути, высоты подъема, дальности, времени являются вспомогательными и, как правило, легко решаются на основании уравнений движения. Прямая задача кинематики заключается в вычислении параметров движения по заданным уравнениям движения.

6. Поступательное движение однозначно определяется по одному из следующих признаков:

· все точки тела движутся по траекториям одинакового вида;

· любой отрезок прямой линии, проведенный внутри тела, при поступательном движении остается параллельным самому себе;

· все точки тела движутся с одинаковой скоростью.

7. Вращательное движение – такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения

Плоское движение твердого тела можно разложить на поступательное и вращательное движение.

8. Путь – это длина траектории (измеренная с учетом кратности прохождения отдельных ее участков).

9. Средняя скорость – это векторная физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который это перемещение осуществлено.

10. Среднее значение модуля скорости (средняя путевая скорость) – это скалярная физическая величина, равная отношению пути к промежутку времени, за который пройден этот путь.

11. Мгновенная скорость - это векторная физическая величина, равная первой производной вектора перемещения (или радиус-вектора) по времени: ,

или , в проекциях получаем: и т.д.

12. Ускорение- - это векторная физическая величина, равная первой производной вектора скорости по времени:

, в проекциях получаем: и т.д.

Таблица типов движения:

Таблица 6

Равномерное движение:	Равнопеременное движение:
Прямолинейное равномерное	Криволинейное равномерное	Равноускоренное увеличивается	Равнозамедленное уменьшается

13. Уравнение (закон) равнопеременного движения:

, или в координатной форме: .

14. Уравнение (закон) изменения скорости при равнопеременном движении: , или в координатной форме:

15. Формула для средней скорости при равнопеременном движении:
.

Рис.2

Преобразования Галилея, формула сложения скоростей:
Пусть имеются две системы отсчета, К и К ’ , причем К ’ движется вдоль положительного направления X с постоянной скоростью и в начальный момент времени начала координат совпадали, тогда очевидно , - это и есть преобразования координат, времени Галилея. Продифференцировав преобразования Галилея по времени, получим классическую формулу сложения скоростей .
Скорость МТ относительно условно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скоростей, относительно подвижной СО и подвижной СО относительно неподвижной.

17. Формула для пути с исключенным временем: .

Основные определения кинематики вращательного движения:

18. Период – это значение интервала времени, за который тело совершает полный оборот по циклической траектории.
Частота – величина обратная периоду, , .
Число оборотов в секунду равно частоте, но обозначается n, .

19. Угловая скорость – скалярная величина, равная первой производной угла поворота по времени, . Далее мы введем угол и угловую скорость как векторные величины. При равномерном движении .

20. Ускорение при криволинейном движении – имеет две составляющие: тангенциальную, отвечающую за изменение скорости по величине и нормальную, или центростремительную, отвечающую за искривление траектории

С учетом выражения

окончательно получаем: , , где -единичный вектор, направленный к центру кривизны, - единичный вектор вдоль касательной к траектории. Более компактный вывод выглядит так: , следовательно, и .

Типичные задачи кинематики:

Задача №2. Чему равна скорость точек A,B,C,D на диске, рис.4, катящемся по плоскости без проскальзывания (чистое качение).
Изобразите геометрическое место точек диска, у которых скорость по модулю равна скорости поступательного движения диска.

Задача № 3. Два автомобиля едут в попутном направлении с заданной скоростью.На какой минимальной дистанции необходимо держаться второму автомобилю, чтобы обезопасить себя от попадания камней, вырывающихся из-под колес первого автомобиля. Под каким углом к горизонту в системе отсчета, связанной с землей вылетают самые опасные камни? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: , - вперед по ходу движения.

Задача № 4. Критическое для тела человека кратковременное ускорение (при котором есть шанс избежать серьезных травм) равно . Каким должен быть минимальный тормозной путь, если начальная скорость автомобиля равнялась 100км/ч?

Задача № 5. (№1.23 из сборника задач ).Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону , где - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?